Calculer les limites suivantes :

• \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}\)
• \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x^2-2}}\)
• \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt[4]{x^2-1}}{\sqrt{x-1}}\)
• \(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{2 x+1}-\sqrt{x+1}}{x-1}\)
• \(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[4]{x}-1}{x-1}\)
• \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}\)
• \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\)
• \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-(\sqrt[3]{x})^2}{x}\)

Essayer de faire l'exercice avant de voir la solution

1. \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}\)

Méthode 1: changement de variable
On pose \(t=\sqrt[3]{x}\)
alors \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}\)
\[
\lim _{t \rightarrow \sqrt[3]{2}} \frac{t-2}{t^3-2^3}
\]
\[
\lim _{t \rightarrow \sqrt[3]{2}} \frac{t-2}{(t-2)\left(t^2+2 t+4\right)}
\]

\(\lim _{t \rightarrow \sqrt[3]{2}} \frac{1}{t^2+2 t+4}\)
\(\frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2+2 \sqrt[3]{2}+4}\)