L'espace est muni d'un repère \(( O ; \vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k})\).

soient \(A \left( x _{ A } ; y _{ A } ; z _{ A }\right), B \left( x _{ B } ; y _{ B ;} ; z _{ B }\right), C \left( x _{ C } ; y _{ C } ; z _{ C }\right)\) trois points quelconques de l'espace, \(\vec{u}( x ; y ; z ), \vec{v}\left( x ^{\prime} ; y ^{\prime} ; z ^{\prime}\right)\) et \(\vec{w}\left( x ^{\prime \prime} ; y ^{\prime \prime} ; z { }^{\prime \prime}\right)\) trois vecteurs de l'espace et \(k\) un réel .

On a :

1. Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{A B} \operatorname{ sont } \left( x _{ B }- x _{ A } ; y _{ B }- y _{ A } ; z _{ B }- z _{ A }\right)\)
2. Les coordonnées du milieu I de \([ AB ]\) sont \(I\left(\frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2} ; \frac{z_A+z_B}{2}\right) \)
3. Les coordonnées du vecteur \(\vec{u}+\vec{v}\) sont \(\left( x + x ^{\prime} ; y + y ^{\prime} ; z + z ^{\prime}\right)\) 
4. Les coordonnées du vecteur \(k \vec{u}\) sont \(( kx ; ky ; kz )\)
5. \(\vec{u}( x ; y ; z )\) et \(\vec{v}\left( x ^{\prime} ; y ^{\prime} ; z ^{\prime}\right)\) sont égaux si et seulement si \(x=x^{\prime}, y=y^{\prime}\) et \(z=z^{\prime}\).
6. \(\vec{u}( x ; y ; z )\) et \(\vec{v}\left( x ^{\prime} ; y ^{\prime} ; z ^{\prime}\right)\) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont des triplets proportionnels.
7. \(\vec{u}( x ; y ; z ), \vec{v}\left( x ^{\prime} ; y ^{\prime} ; z ^{\prime}\right)\) et \(\vec{w}\left( x ^{\prime \prime} ; y ^{\prime \prime} ; z { }^{\prime}\right)\) sont coplanaires si et seulement si leur déterminant est nul :
   \[
   \left|\begin{array}{lll}
   x & x^{\prime} & x^{\prime \prime} \\
   y & y^{\prime} & y^{\prime \prime} \\
   z & z^{\prime} & z^{\prime \prime}
   \end{array}\right|=0
   \]
8. \(Si ( O ; \vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k})\) est un repère orthonormal de l'espace alors :
   \[
   \begin{aligned}
   \|\vec{u}\| & =\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\
   A B & =\| \vec{AB}\|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}
   \end{aligned}
   \]
9. \(\vec{u}( x ; y ; z )\) et \(\vec{v}\left( x ^{\prime} ; y ^{\prime} ; z ^{\prime}\right)\) sont orthogonaux si et seulement si :
   \[
    xx ^{\prime}+ yy ^{\prime}+ zz ^{\prime}=0
   \]
   C'est-à-dire  : 
   ( \(\vec{u}( x ; y ; z )\) et \(\vec{v}\left( x ^{\prime} ; y ^{\prime} ; z ^{\prime}\right)\) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) est nul.