On considère la fonction \(f\) définie sur \([2,+\infty[\) par \(f(x)=x-2 \sqrt{x-1}\)

1) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer

2) Calculer pour tout \(x \in J: f^{-1}(x)\)

Essayer de faire l'exercice avant de voir la solution

Réponse de la question Nº 1

soit \(x \geq 2\) on a 

\begin{aligned}
f(x)&= x-2 \sqrt{x-1} \\
&=x-1+1-2 \sqrt{x-1} \\
&=\sqrt{x-1}^2-2 \sqrt{x-1}+1 \\
&=(\sqrt{x-1}-1)^2 \\
\end{aligned}

 \( \text { alors }\left(\forall x \in \left[2,+\infty \right[ \right) : \)
\[ f(x)=(\sqrt{x-1}-1)^2 \]

on a \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\) comme composée des fonctions \(x \rightarrow x^2\) et \(x \rightarrow(\sqrt{x-1}-1)\) qui sont continues et strictement croissantes sur \(I\)
alors selon le théorème de la fonction réciproque \(f\) admet une fonction réciproque définie sur

\[
J=f(I)=\left[f(2), \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\right[.
\]
on a \(f(2)=2-2 \sqrt{2-1}=0\)
on a \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x-1}-1)^2=+\infty\)
car \(\lim _{x \rightarrow+\infty}(x-1)=+\infty l \Rightarrow \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x-1}=+\infty\)
alors \(J=[0,+\infty[\)
Ainsi \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}:

Réponse de la question Nº 2

Calculer pour tout \(x \in J: f^{-1}(x)\)

soit \(x \in\left[0,+\infty\left[\right.\right.\) et \(y \in I=\left[2,+\infty\left[\right.\right.\) tels que \(f^{-1}(x)=y\)
\[
\begin{aligned}
&\Leftrightarrow x=f(y)=(\sqrt{y-1}-1)^2 \\
&\Leftrightarrow \sqrt{x}=|\sqrt{y-1}-1| \\
&\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y-1}-1 \operatorname{car} y \geq 2 \Rightarrow y-1 \geq 1 \Rightarrow \sqrt{y-1}-1 \geq 0 \\
&\Leftrightarrow \sqrt{x}+1=\sqrt{y-1} \\
&\Leftrightarrow(\sqrt{x}+1)^2=y-1 \operatorname{car} y \geq 2 \\
&\Leftrightarrow(\sqrt{x}+1)^2+1=y \\
&\Leftrightarrow(\sqrt{x}+1)^2+1=f^{-1}(x)
\end{aligned}
\]

alors \(\forall x \in\left[0,+\infty\left[: f^{-1}(x)=(\sqrt{x}+1)^2+1\right.\right.\)