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Continuité : limites avec racine n-ieme

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calculer les limites suivantes :

 

  • \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^2-1}-2 x
  • \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^2-1}-x
  • \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{4 x^2-x-1}-2 x+1
  • \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{x^3-1}-2 x

CORRECTION

Essayer de faire l'exercice avant de voir la correction

 

 

 

 

 

\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^2-1}-2 x &=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}-2 x \\ &=\lim _{x \rightarrow+\infty}|x| \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-2 x \\ &=\lim _{x \rightarrow+\infty} x \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-2 x \\ &=\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-2\right) \\ &=-\infty \end{aligned}


\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{x^3-1}-2 x &=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^3\left(1-\frac{1}{x^3}\right)}-2 x \\ &=\lim _{x \rightarrow+\infty} x \sqrt{1-\frac{1}{x^3}}-2 x \\ &=\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^3}}-2\right) \\ &=-\infty \end{aligned}


\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^2-1}-x &=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2-1}-x\right)\left(\sqrt{x^2-1}+x\right)}{\sqrt{x^2-1}+x} \\ &=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^2-1}-x^2}{\sqrt{x^2-1}+x} \\ &=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}+x} \\ &=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x} \\ &=0 \end{aligned}


\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{4 x^2-x-1}-2 x+1

=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(\sqrt{4 x^2-x-1}-2 x\right)\left(\sqrt{4 x^2-x-1}+2 x\right)}{\sqrt{4 x^2-x-1}+2 x}+1

=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4 x^2-x-1-4 x^2}{\sqrt{4 x^2-x-1}+2 x}+1
=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-x-1}{\sqrt{x^2\left(4-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}+2 x}+1
=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-x-1}{x \sqrt{4-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}+2 x}+1
=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-x-1}{x \sqrt{4-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}+2 x}+1
=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x\left(-1-\frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{4-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}+2\right)}+1
=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-1-\frac{1}{x}}{\sqrt{4-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}+2}+1

=-\frac{1}{4}+1
=\frac{3}{4}

 

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