Limite \(\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{3 x+5}}{1-\tan \left(\frac{\pi}{4} x\right)}\)
Si on remplace directement , nous allons obtenir une F.I \(\left(\frac{0}{0}\right)\).
Afin d'enlever cette indétermination nous allons diviser le numérateur et le numérateur par \(x -1\)
On a :
\[\begin{aligned}&\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{3 x+5}}{1-\tan \left(\frac{\pi}{4} x\right)} \\& =\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{3 x+5}}{x-1}}{\frac{1-\tan \left(\frac{\pi}{4} x\right)}{x-1}} \\& =\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{\sqrt{x+3}-2-\sqrt[3]{3 x+5}+2}{x-1}}{-\frac{\tan \left(\frac{\pi}{4} x\right)-1}{x-1}} \\& =\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}-\frac{\sqrt[3]{3 x+5}-2}{x-1}}{\frac{\tan \left(\frac{\pi}{4} x\right)-1}{x-1}}\end{aligned}\]
Or :
\[\begin{aligned}&\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\\&=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+3-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}\\&=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}\]
Et :
\[\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{3 x+5}-2}{x-1}\\&=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x+5-8}{(x-1)\left(\sqrt[3]{3 x+5}^2+2 \sqrt[3]{3 x+5}+4\right)}\\&=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3}{\left(\sqrt[3]{3 x+5}^2+2 \sqrt[3]{3 x+5}+4\right)}\\&=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\end{aligned}\]
Et :
\[\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 1}-\frac{\tan \left(\frac{\pi}{4} x\right)-1}{x-1} \\& =\lim _{x \rightarrow 1}-\frac{\tan \left(\frac{\pi}{4} x\right)-\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)}{x-1} \\& =-\tan ^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) \\& =-\left(1+\tan ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=-2\end{aligned}\]
Donc
\[L=\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}{-2}=0\]
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