Les polynôme qui vérifient \(p\circ p=p\)
Le but de cet article est de trouver les polynômes qui vérifient :
\[ p\circ p = p \]
Cette question peut être reformulée de la manière suivante , Résoudre l'équation :
\[ p\circ p = p \]
Si \(p\) est une solution qui n'est pas le polynôme nul, alors le degré de \(p \circ p\) vaut \(\operatorname{deg}(p)^2\), et donc on a l'équation
\[\operatorname{deg}(p)^2=\operatorname{deg}(p) \]
et donc \(\operatorname{deg}(p)=1\) ou \(\operatorname{deg}(p)=0\). Maintenant, si \(p(X)=a X+b\), alors
\[\begin{aligned}p \circ p(X) & =a(a X+b)+b=a^2 X+(a b+b) \\p(X) & =a X+b .\end{aligned}\]
On doit donc avoir \(a^2=a\), soit \(a=1\) ou \(a=0\), et \(a b=0\). Si \(a=1\), alors \(b=0\) et si \(a=0\), alors \(b\) peut être quelconque dans \(R\). Finalement, on trouve que les solutions sont les polynômes constants et le polynôme \(p(X)=X\).
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