Colinéarité de deux vecteurs

Soient \(\vec{u}(x ; y ; z)\) et \(\vec{v}\left(x^{\prime} ; y^{\prime} ; z^{\prime}\right)\) deux vecteurs de l'espace rapporté à une base \((\vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k})\). Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si, et seulement si :
\[
\Delta_1=\left|\begin{array}{ll}
x & x^{\prime} \\
y & y^{\prime}
\end{array}\right|=0 \quad \text { et } \quad \Delta_2=\left|\begin{array}{ll}
x & x^{\prime} \\
z & z^{\prime}
\end{array}\right|=0 \quad \text { et } \quad \Delta_3=\left|\begin{array}{ll}
y & y^{\prime} \\
z & z^{\prime}
\end{array}\right|=0
\]
Les réels \(\Delta_1=x y^{\prime}-x^{\prime} y, \Delta_2=x z^{\prime}-x^{\prime} z\) et \(\Delta_3=y z^{\prime}-y^{\prime} z\) sont appelés les déterminants extraits des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).