التمريــن 1

    أكتب باستعمال المكممات العبارات التالية ثم ادرس قيمة حقيقتها.

•   \( \mathcal{P}_{1}  \)   : " لكل عدد صحيح طبيعي  \(n\) يوجد عدد صحيح طبيعي   \( m \) بحيث \( n+m=10 \) "
•  \( \mathcal{P}_{2}  \) : " يوجد عدد حقيقي   \( M \) حيث لكل  \( x \) من  \( \mathbb{R} \):  \( x \leqslant M \)"
• \( \mathcal{P}_{3}  \) : " لكل عددين حقيقيين \( x \) و \( y \)لدينا :  \(  x^{2}+y^{2} > xy \)"
• \( \mathcal{P}_{4}  \) :  " لكل عدد حقيقي  \( a \) ، يوجد عدد حقيقي وحيد \(  x \) بحيث  \(  x^{2}-ax=1  \) "

  ---

التمريــن 2

اكتب النصوص التالية باستعمال المكممات :

     1. عدد حقيقي هو عدد موجب.
    2. بعض الأعداد الحقيقية هي أكبر قطعاً من مربعها.
    3. لا يوجد أي عدد صحيح طبيعي أكبر من جميع الأعداد الأخرى.
    4. بعض الأعداد الحقيقية لا يمكن كتابتها على شكل خارج عددين صحيحين .
    5. يوجد عدد صحيح طبيعي مضاعف لجميع الأعداد الصحيحة الطبيعية  الأخرى.

التمريــن 3

: حدد قيمة حقيقة كل من العبارات التالية واعط نفيها :

 \(\mathscr{P}_1: \forall x \in \mathbb{R}, x^2>0 \)
 \(\mathscr{P}_2: \exists x \in \mathbb{R}, x^2-2=0 \)
 \(\mathscr{P}_3: \forall n \in \mathbb{N}, \frac{n}{2} \in \mathbb{N}^{\prime \prime}\)
 \(\mathscr{P}_4:(\forall x \in \mathbb{R}) ;-1 \leq \cos x \leq 1\)
 \(\mathscr{P}_5:(\forall n \in \mathbb{N}) ;(\exists m \in \mathbb{N}): n<m\)
 \(\mathscr{P}_7:(\forall n \in \mathbb{N}) ; \sqrt{n} \in \mathbb{N}\)
 \(\mathscr{P}_8:(\forall x \in \mathbb{R}) ;(\exists y \in \mathbb{R}): y-x>0\)
 \(\mathscr{P}_9:(\exists ! x \in \mathbb{R}) ; 2 x+4=0\)
 \(\mathscr{P}_{10}:(\exists ! x \in \mathbb{R}) ; x^2=2\)
 \(\mathscr{P}_{11}:(\exists x \in \mathbb{Z}) ; \frac{x}{4} \in \mathbb{Z}\)
 \(\mathscr{P}_{12}:(\forall x \in \mathbb{R}) ;(\exists y \in \mathbb{R}): y^2=x\)

التمريــن 4

حدد قيمة حقيقة كل من العبارات التالية معللاً جوابك :

\(P_1: (\sqrt{3} \geq 1) \Rightarrow\left((-2)^2=-4\right)\)
\(P_2: \left(\frac{6}{2}=2\right) \Rightarrow(\sqrt{5}<3) \)
\(P_3: (2 \text{عدد زوجي}) \Rightarrow(0,1 \in \mathbb{N}) \)
\(P_4: (\text{عدد فردي} 4) \Rightarrow(-1 \in \mathbb{N}) \)

التمريــن 5

 ليكن \( x \) عدداً حقيقياً ، بين أن :

\(2<x<4 \Rightarrow \frac{1}{3}<\frac{1}{x-1}<1\)

التمريــن 6

بين أن :

\(\left(\forall(a ; b) \in \mathbb{R}^2\right) a^2+b^2=0 \Rightarrow(a=0 \quad et \quad b=0)\)

التمريــن 7

ليكن   \( x \) و  \( y \) عددين حقيقيين موجبين ، بين أن :

\((x+y+2=2 \sqrt{x}+2 \sqrt{y}) \Rightarrow x=y=1\)

التمريــن 8

ليكن   \( x \) و  \( y \) عددين حقيقيين بحيث : \(a^2+b^2=1\) .

بين أن : 

\(|a+b| \leq \sqrt{2}^2\)

التمريــن 9

ليكن   \( x \) و  \( y \) عددين حقيقيين موجبين قطعا ، بين أنه إذا كان \(\dfrac{a}{1+b}=\dfrac{b}{1+a}\)   فــإن    \(a=b\).

التمريــن 10

1. بين أن \(\sqrt{2}\) عدد لاجذري .
2. بين أن \(\sqrt{3}\) عدد لاجذري .
3. بين أن \(\sqrt{5}\) عدد لاجذري .
4. بين أن \(\sqrt{7}\) عدد لاجذري .

التمريــن 11

بين أن مجموع عدد لا جذري وعدد جذري هو عدد لا جذري .

التمريــن 12

لتكن   \( x \) و  \( y \) و  \( z \) أعداداً حقيقية ، بين أن النطمة التالية ليس لها حل :

\(\left\{\begin{array}{l}2 x-3 z>3 \\ 3 y-2 x \geq 3 \\ y-z \leq 2\end{array}\right.\)

التمريــن 13

•  بين أنه لكل  \(n\)  من  \( \mathbb{N}\) ،  إذا كان \(n^2\) عدداً فردياُ فإن \(n\) عدد فردي .
•  بين أنه لكل  \(n\)  من  \( \mathbb{N}\) ، إذا كان \(n^2\) عدداً زوجياً فإن \(n\) عدد زوجي .

التمريــن 14

•  بين أنه لكل  \(n\)  من  \( \mathbb{N}\) ،  إذا كان \(n^2\) يقبل القسمة على 3 فإن \(n\) يقبل القسمة على 3 .

التمريــن 15

ليكن   \( x \) و  \( y \) عددين حقيقيين ، بين أن :

\(x \neq y \Rightarrow(x+1)(y-1) \neq(x-1)(y+1)\)

التمريــن 15

بين أن العبارات التالية عبارات خاطئة :

• \(\left(\forall x \in \mathbb{R}^*\right) \quad x+\dfrac{1}{x} \geq 2\)
• \((\forall x \in[0 ; 1]): x^2 \geq x\)
• \((\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}): x^2+y^2 \geq x+y\)

التمريــن 16

بين بالترجع ما يلي :

• \(\left(\forall n \in \mathbb{N}^*\right) ; 1^3+2^3+\ldots+n^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\)
• \((\forall n \in \mathbb{N}) ; 1+3+5+\ldots .+(2 n+1)=(n+1)^2\)
• \(\left(\forall n \in \mathbb{N}^*\right), 1 \times 2+2 \times 3+\ldots+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\)